Корень многочлена (не равного тождественно нулю)

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$

над полем ${\displaystyle K}$ — это элемент ${\displaystyle c\in K}$ (либо элемент расширения поля ${\displaystyle K}$) такой, что выполняются два следующих равносильных условия:

• данный многочлен делится на многочлен ${\displaystyle x-c}$;
• подстановка элемента ${\displaystyle c}$ вместо ${\displaystyle x}$ обращает уравнение

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}=0}$

в тождество, то есть значение многочлена становится равным нулю.

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Говорят, что корень ${\displaystyle c}$ имеет кратность ${\displaystyle m}$, если рассматриваемый многочлен делится на ${\displaystyle (x-c)^{m}}$ и не делится на ${\displaystyle (x-c)^{m+1}.}$ Например, многочлен ${\displaystyle x^{2}-2x+1}$ имеет единственный корень, равный ${\displaystyle 1}$ кратности ${\displaystyle 2}$. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.

Говорят, что многочлен имеет ${\displaystyle n}$ корней без учёта кратности, если каждый его корень учитывается при подсчёте один раз. Если же каждый корень учитывается количество раз, равное его кратности, то говорят, что подсчёт ведётся с учётом кратности.